Itens fora do programa atual

Resposta: (D)

Em (A), \({u}_{n+1}-{u}_{n}=2n-3\), que é negativo apenas para \(n=1\): não é monótona decrescente.

Em (B) e (C) as sucessões são crescentes (\(2n+3\) é aritmética de razão \(2\); \({\left( \frac{3}{2} \right)}^{n}\) é geométrica de razão maior que \(1\)).

Em (D), \(\frac{{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\frac{2}{3}<1\) com termos positivos, logo a sucessão é decrescente.

Resposta: (A)

Dividindo numerador e denominador por \(n\): \({u}_{n}=\frac{2+\frac{4}{n}}{3+\frac{5}{n}}\).

Como \(\frac{4}{n}\to 0\) e \(\frac{5}{n}\to 0\), vem \(\lim {u}_{n}=\frac{2}{3}\).

\({u}_{n+1}=\frac{3\left( n+1 \right)+5}{\left( n+1 \right)+2}=\frac{3n+8}{n+3}\).

\({u}_{n+1}-{u}_{n}=\frac{3n+8}{n+3}-\frac{3n+5}{n+2}=\frac{\left( 3n+8 \right)\left( n+2 \right)-\left( 3n+5 \right)\left( n+3 \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}=\frac{1}{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}\).

Para qualquer \(n\in N\), \(\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)>0\), pelo que \({u}_{n+1}-{u}_{n}>0\).

Logo a sucessão \(\left( {u}_{n} \right)\) é monótona crescente.

Resposta: (D)

\(\frac{n+2}{n}=1+\frac{2}{n}\), pelo que \({u}_{n}={\left( 1+\frac{2}{n} \right)}^{3n}={\left[ {\left( 1+\frac{2}{n} \right)}^{n} \right]}^{3}\).

Como \(\lim {\left( 1+\frac{2}{n} \right)}^{n}={e}^{2}\), vem \(\lim {u}_{n}={\left( {e}^{2} \right)}^{3}={e}^{6}\).

Resposta: (C)

\({u}_{n}={\left[ {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n} \right]}^{3}\).

Como \(\lim {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}=e\), vem \(\lim {u}_{n}={e}^{3}\).

Resposta: (C)

Em (A), \(\frac{2-{n}^{2}}{n}=\frac{2}{n}-n\to -\infty \).

Em (B), \({\left( -2 \right)}^{n}\) não tem limite (os termos alternam de sinal e crescem em módulo).

Em (D), \(2n+3\to +\infty \).

Em (C), trata-se de uma progressão geométrica de razão \(-\frac{1}{2}\), com \(\left| -\frac{1}{2} \right|<1\), pelo que o limite é \(0\).

\(\operatorname{sen}\left( \frac{\pi }{2}+x \right)=\cos x\).

\({\left( \cos x-\operatorname{sen}x \right)}^{2}={\cos }^{2}x-2\operatorname{sen}x\cos x+{\operatorname{sen}}^{2}x\).

Como \({\operatorname{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1\), vem \({\left( \cos x-\operatorname{sen}x \right)}^{2}=1-2\operatorname{sen}x\cos x\).

Logo \(1-{\left( \cos x-\operatorname{sen}x \right)}^{2}=2\operatorname{sen}x\cos x=\operatorname{sen}\left( 2x \right)\), como se pretendia.

Sejam \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) os quatro últimos elementos da linha, por ordem decrescente de posição; então \(d=1\) (último elemento) e \(c\) é igual ao segundo elemento dessa linha (simetria da linha).

Pela regra de formação do Triângulo de Pascal, o quarto elemento da linha seguinte é \(a+b\).

Logo \(a+b+c+d=288\,101\) com \(a+b=287\,980\) e \(d=1\): \(c=288\,101-287\,980-1=120\).

O segundo elemento da linha é \(120\).

\(f\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2\operatorname{sen}x\cos x+\cos x=0\Leftrightarrow \cos x\,\left( 2\operatorname{sen}x+1 \right)=0\).

\(\cos x=0 \lor  \operatorname{sen}x=-\frac{1}{2}\).

Em \([0,2\pi [\) os zeros são \(\frac{\pi }{2}\), \(\frac{7\pi }{6}\), \(\frac{3\pi }{2}\) e \(\frac{11\pi }{6}\): quatro zeros por cada período de amplitude \(2\pi \).

Como \(20=4\times 5\), os vinte zeros ocorrem em \([0,10\pi [\) e o maior deles é \(\frac{11\pi }{6}+4\times 2\pi =\frac{59\pi }{6}\).

O menor valor de \(a\) é \(\frac{59\pi }{6}\).

Resposta: (A)

Numa linha de ordem \(n\), o segundo e o penúltimo elementos são ambos iguais a \({​}^{n}{C}_{1}=n\).

\(n\times n=625\Leftrightarrow n=25\): trata-se da linha \(n=25\).

O quinto elemento da linha anterior (\(n=24\)) é \({​}^{24}{C}_{4}=10\,626\).