Cálculo diferencial

Como o ponto \(\left( 3,4 \right)\) pertence ao gráfico de \(g\), \(g\left( 3 \right)=4\). Como a reta tangente em \(x=3\) é paralela a \(y=-2x+1\) (declive \(-2\)), \(g'\left( 3 \right)=-2\).

\(f\left( 3 \right)=\frac{3}{3-1}=\frac{3}{2}\).

\(f'\left( x \right)=\frac{1\times \left( x-1 \right)-x\times 1}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=\frac{-1}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\), pelo que \(f'\left( 3 \right)=\frac{-1}{{2}^{2}}=-\frac{1}{4}\).

Pela regra de derivação do quociente:

\[\left( \frac{f}{g} \right)'\left( 3 \right)=\frac{f'\left( 3 \right)g\left( 3 \right)-f\left( 3 \right)g'\left( 3 \right)}{{\left[ g\left( 3 \right) \right]}^{2}}=\frac{\left( -\frac{1}{4} \right)\times 4-\frac{3}{2}\times \left( -2 \right)}{{4}^{2}}=\frac{-1+3}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}\]

Resposta: (D)

Como a reta \(y=x+4\) é tangente ao gráfico de \(f\) em \(x=1\), o ponto \(\left( 1,f\left( 1 \right) \right)\) pertence a essa reta: \(f\left( 1 \right)=1+4=5\), ou seja, \(a+b-3=5\Leftrightarrow a+b=8\).

Além disso, o declive da tangente é a derivada em \(x=1\): \(f'\left( x \right)=2ax+b\), pelo que \(f'\left( 1 \right)=2a+b=1\).

Subtraindo as duas equações: \(\left( 2a+b \right)-\left( a+b \right)=1-8\Leftrightarrow a=-7\).

Substituindo: \(b=8-\left( -7 \right)=15\).

Resposta: (B)

a) ★★

Como \(f\left( -1 \right)=0\), \(f\left( x \right)\) é divisível por \(x-\left( -1 \right)=x+1\). Pela regra de Ruffini:

\[{x}^{3}-4{x}^{2}+x+6=\left( x+1 \right)\left( {x}^{2}-5x+6 \right)\]

Os zeros de \({x}^{2}-5x+6\) são \(x=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\), ou seja, \(x=2\) ou \(x=3\).

Estudando o sinal do produto \(\left( x+1 \right)\left( {x}^{2}-5x+6 \right)\) (com \({x}^{2}-5x+6>0\) fora de \(\left[ 2,3 \right]\) e \(\le 0\) dentro):

Logo, \(f\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow -1\le x\le 2\lor x\ge 3\), pelo que o conjunto-solução é \(\left[ -1,2 \right]\cup [3,+\infty [\).

b) ★★★

Por definição, \(f'\left( -2 \right)={\lim }_{x\to -2}\frac{f\left( x \right)-f\left( -2 \right)}{x-\left( -2 \right)}\).

Calcula-se \(f\left( -2 \right)={\left( -2 \right)}^{3}-4{\left( -2 \right)}^{2}+\left( -2 \right)+6=-8-16-2+6=-20\).

\(f\left( x \right)-f\left( -2 \right)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+6-\left( -20 \right)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+26\).

Como \(x=-2\) é zero deste polinómio (confirma-se: \({\left( -2 \right)}^{3}-4{\left( -2 \right)}^{2}+\left( -2 \right)+26=-8-16-2+26=0\)), este é divisível por \(x+2\). Pela regra de Ruffini: \({x}^{3}-4{x}^{2}+x+26=\left( x+2 \right)\left( {x}^{2}-6x+13 \right)\).

Assim:

\[f'\left( -2 \right)=\lim _{x\to -2}\frac{\left( x+2 \right)\left( {x}^{2}-6x+13 \right)}{x+2}=\lim _{x\to -2}\left( {x}^{2}-6x+13 \right)={\left( -2 \right)}^{2}-6\left( -2 \right)+13=4+12+13=29\]

c) ★★★

\(g\left( x \right)=\left( {x}^{3}-4{x}^{2}+x+6 \right)+{x}^{2}-x-4={x}^{3}-3{x}^{2}+2\).

\(g'\left( x \right)=3{x}^{2}-6x=3x\left( x-2 \right)\). Os zeros de \(g'\) são \(x=0\) e \(x=2\).

Estudando o sinal de \(g'\): \(g'\) é positiva em \(]-\infty ,0[\), negativa em \(]0,2[\) e positiva em \(]2,+\infty [\), pelo que \(g\) tem um máximo relativo em \(x=0\) e um mínimo relativo em \(x=2\).

\(g\left( 0 \right)=0-0+2=2\) e \(g\left( 2 \right)=8-12+2=-2\). Logo, \(A=\left( 0,2 \right)\) e \(B=\left( 2,-2 \right)\).

O declive da reta \(AB\) é \(m=\frac{-2-2}{2-0}=-2\). Como a reta passa por \(A=\left( 0,2 \right)\), a sua equação reduzida é \(y=-2x+2\), ou seja, \(2x+y-2=0\).

A distância da origem \(O=\left( 0,0 \right)\) à reta \(2x+y-2=0\) é:

\[d\left( O,AB \right)=\frac{\left| 2\times 0+1\times 0-2 \right|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 0,894\]

a) ★★

Derivando termo a termo: a derivada de \(x\) é \(1\); a derivada de \(1\) é \(0\); para o termo \(\frac{k}{x+1}=k{\left( x+1 \right)}^{-1}\), usando a regra da derivada da função composta (ou do quociente), obtém-se \(-k{\left( x+1 \right)}^{-2}=-\frac{k}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\).

Logo, \(f'\left( x \right)=1-\frac{k}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\).

b) ★★★

Como \(f\) tem um extremo relativo em \(x=1\), \(f'\left( 1 \right)=0\): \(1-\frac{k}{{\left( 1+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 1-\frac{k}{4}=0\Leftrightarrow k=4\).

Com \(k=4\): \(f'\left( x \right)=1-\frac{4}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\). Derivando novamente, \(f″\left( x \right)=\frac{8}{{\left( x+1 \right)}^{3}}\).

Como \(f″\left( 1 \right)=\frac{8}{{2}^{3}}=1>0\), conclui-se, pelo critério da segunda derivada, que \(f\) tem um mínimo relativo em \(x=1\).

c) ★★★

\(f\left( 2 \right)=2+\frac{4}{2+1}+1=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\).

\(f'\left( 2 \right)=1-\frac{4}{{\left( 2+1 \right)}^{2}}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\).

A equação reduzida da tangente é \(y-f\left( 2 \right)=f'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)\), ou seja:

\[y=\frac{5}{9}\left( x-2 \right)+\frac{13}{3}=\frac{5}{9}x-\frac{10}{9}+\frac{39}{9}=\frac{5}{9}x+\frac{29}{9}\]

Como a reta \(y=2x-5\) é tangente ao gráfico de \(g\) em \(x=3\): \(g\left( 3 \right)=2\times 3-5=1\) e \(g'\left( 3 \right)=2\) (o declive da tangente).

\(f\left( 3 \right)=\left( 2\times 3-3 \right)\times g\left( 3 \right)=3\times 1=3\). Logo, \(f\left( 3 \right)=3\).

O limite \({\lim }_{x\to 3}\frac{f\left( x \right)-3}{x-3}={\lim }_{x\to 3}\frac{f\left( x \right)-f\left( 3 \right)}{x-3}\) é, por definição, igual a \(f'\left( 3 \right)\).

Pela regra da derivada do produto: \(f'\left( x \right)=2g\left( x \right)+\left( 2x-3 \right)g'\left( x \right)\), pelo que:

\[f'\left( 3 \right)=2\times g\left( 3 \right)+\left( 2\times 3-3 \right)\times g'\left( 3 \right)=2\times 1+3\times 2=2+6=8\]

Assim, o valor do limite pedido é \(8\).

Seja \(x>0\) o número procurado e \(h\left( x \right)=x+\frac{2}{x}\) a soma a minimizar.

\(h'\left( x \right)=1-\frac{2}{{x}^{2}}\). Como \(x>0\): \(h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {x}^{2}=2\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\) (a solução negativa não é admissível).

Como \(h″\left( x \right)=\frac{4}{{x}^{3}}>0\) para \(x>0\), conclui-se que \(x=\sqrt{2}\) é um ponto de mínimo.

\(h\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).

O número procurado é \(\sqrt{2}\) e a soma mínima é \(2\sqrt{2}\approx 2,828\).

Seja \(f\left( x \right)=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d\), com \(a\ne 0\). Como \(f\) tem extremos relativos em \(x=0\) e \(x=2\), estes são zeros de \(f'\left( x \right)=3a{x}^{2}+2bx+c\).

Como \(f'\) é uma função do \(2.º\) grau com zeros em \(0\) e \(2\) e coeficiente de \({x}^{2}\) igual a \(3a\), pode escrever-se \(f'\left( x \right)=3a\,x\left( x-2 \right)=3a{x}^{2}-6ax\); comparando com \(3a{x}^{2}+2bx+c\), conclui-se que \(2b=-6a\), ou seja, \(b=-3a\), e \(c=0\).

Para que \(x=0\) seja um máximo (e não um mínimo) relativo, a concavidade de \(f\) em \(x=0\) tem de ser voltada para baixo, isto é, \(f″\left( 0 \right)<0\). Como \(f″\left( x \right)=6ax+2b=6ax-6a=6a\left( x-1 \right)\), vem \(f″\left( 0 \right)=-6a<0\Leftrightarrow a>0\).

Assim, \(f\left( x \right)=a{x}^{3}-3a{x}^{2}+d=a\left( {x}^{3}-3{x}^{2} \right)+d\), com \(a>0\).

Se \(-1\) é zero de \(f\): \(f\left( -1 \right)=a\left( {\left( -1 \right)}^{3}-3{\left( -1 \right)}^{2} \right)+d=a\left( -1-3 \right)+d=-4a+d=0\Leftrightarrow d=4a\).

Calculando \(f\left( 2 \right)\) com \(d=4a\): \(f\left( 2 \right)=a\left( {2}^{3}-3\times {2}^{2} \right)+d=a\left( 8-12 \right)+4a=-4a+4a=0\).

Logo, \(f\left( 2 \right)=0\), ou seja, \(2\) também é zero de \(f\), como se pretendia mostrar. (Note-se que este resultado é válido para qualquer \(a>0\), não dependendo do seu valor concreto.)

\(g'\left( x \right)=2\cos x\times \left( -\operatorname{sen}x \right)-2\operatorname{sen}x\times \cos x=-2\operatorname{sen}x\cos x-2\operatorname{sen}x\cos x=-4\operatorname{sen}x\cos x\), como se pretendia mostrar.

Pela regra da derivada da função composta: \(\left( f\circ g \right)'\left( x \right)=f'\left( g\left( x \right) \right)\times g'\left( x \right)\).

\(g\left( \frac{2\pi }{3} \right)=\cos \left( 2\times \frac{2\pi }{3} \right)=\cos \left( \frac{4\pi }{3} \right)=\cos \left( \pi +\frac{\pi }{3} \right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\) (usando \(g\left( x \right)={\cos }^{2}x-{\operatorname{sen}}^{2}x=\cos \left( 2x \right)\)).

Como \(g\left( \frac{2\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}\), e é dado que o declive da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(-\frac{1}{2}\) é \(2\), tem-se \(f'\left( g\left( \frac{2\pi }{3} \right) \right)=f'\left( -\frac{1}{2} \right)=2\).

\(g'\left( \frac{2\pi }{3} \right)=-4\operatorname{sen}\left( \frac{2\pi }{3} \right)\cos \left( \frac{2\pi }{3} \right)=-4\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \left( -\frac{1}{2} \right)=\sqrt{3}\).

\(\left( f\circ g \right)'\left( \frac{2\pi }{3} \right)=f'\left( g\left( \frac{2\pi }{3} \right) \right)\times g'\left( \frac{2\pi }{3} \right)=2\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\).