Formulário e notas deste tema
Exercício 1
★★Exame nacionalExame Nacional 2024, 1.ª fase — item 1
Seja \(f\) uma função de domínio \(R\) e contradomínio \(\left[ -1,3 \right]\).
Qual é o contradomínio da função \(g\), de domínio \(R\), definida por \(g\left( x \right)=f\left( x-2 \right)+1\)?
(A) \(\left[ -3,1 \right]\)
(B) \(\left[ -2,2 \right]\)
(C) \(\left[ 0,4 \right]\)
(D) \(\left[ 1,5 \right]\)
Ver resolução
Resposta: (C)
A substituição de \(x\) por \(x-2\) corresponde a uma translação horizontal, que não altera o contradomínio.
Somar \(1\) corresponde a uma translação vertical de \(1\) unidade: cada imagem aumenta uma unidade.
Logo o contradomínio passa de \(\left[ -1,3 \right]\) para \(\left[ -1+1,\,3+1 \right]=\left[ 0,4 \right]\).
Exercício 2
★★Exame nacionalExame Nacional 2022, 2.ª fase — item 1
Em qual das opções seguintes está representada graficamente, em referencial o.n. \(Oxy\), uma função que tem um mínimo em \(x=0\)?
Ver resolução
Numa opção com mínimo em \(x=0\), o valor \(f\left( 0 \right)\) (ponto assinalado a cheio em \(x=0\)) tem de ser inferior ou igual a todos os valores de \(f\left( x \right)\) para \(x\) próximo de \(0\).
Nas opções (A), (B) e (D), o ramo que não contém o ponto a cheio aproxima-se, para \(x\) junto de \(0\), de valores inferiores a \(f\left( 0 \right)\) (em (A) e (B) pelo ramo da direita, em (D) pelo ramo da esquerda), pelo que \(f\left( 0 \right)\) não é mínimo.
Na opção (C), o ramo da esquerda aproxima-se de \(0\) (valor superior a \(f\left( 0 \right)\), que é negativo) e o ramo da direita parte do próprio ponto \(f\left( 0 \right)\) e cresce; logo \(f\left( 0 \right)\le f\left( x \right)\) para todo o \(x\) próximo de \(0\).
Resposta: (C)
Exercício 3
★★Exercício de editoraTeste N.º 4, Domínio 10 (Porto Editora, 2025/2026) — item 3
De uma função quadrática \(f\), sabe-se que:
\(f\left( -2 \right)=4\);
\(f\left( -5 \right)=f\left( 1 \right)=0\).
Qual é o contradomínio da função \(f\)?
(A) \(\,]-\infty ,-2]\)
(B) \(\,]-\infty ,4]\)
(C) \([-2,+\infty [\)
(D) \([4,+\infty [\)
Ver resolução
Como \(f\left( -5 \right)=f\left( 1 \right)=0\), \(-5\) e \(1\) são os zeros de \(f\).
Numa função quadrática, a abcissa do vértice é o ponto médio dos zeros: \({x}_{v}=\frac{-5+1}{2}=-2\).
Como \(f\left( -2 \right)=4\), o vértice da parábola é \(\left( -2,4 \right)\).
Como \(f\left( -2 \right)=4>0=f\left( -5 \right)=f\left( 1 \right)\), a parábola tem a concavidade voltada para baixo (o vértice é o ponto de maior ordenada do gráfico), pelo que \(4\) é o máximo absoluto de \(f\).
O contradomínio de \(f\) é, portanto, \(\,]-\infty ,4]\).
Resposta: (B)
Exercício 4
★★★Exame nacionalExame Nacional 2024, 1.ª fase — item 13
Para certos valores reais de \(b\) e de \(m\), não nulos, a reta de equação \(y=mx+1\) é tangente ao gráfico da função quadrática definida por \(f\left( x \right)=2{x}^{2}+bx+5\) num ponto cuja abcissa é positiva.
Determine a abcissa desse ponto.
Ver resolução
A reta é tangente ao gráfico de \(f\) se a equação \(2{x}^{2}+bx+5=mx+1\) tiver uma única solução.
\(2{x}^{2}+\left( b-m \right)x+4=0\) tem solução única quando o binómio discriminante é nulo: \({\left( b-m \right)}^{2}-4\times 2\times 4=0\Leftrightarrow {\left( b-m \right)}^{2}=32\).
Então \(b-m=\pm \sqrt{32}\) e a solução (dupla) é \(x=\frac{-\left( b-m \right)}{4}=∓\frac{\sqrt{32}}{4}\).
Como \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), vem \(x=-\sqrt{2} \lor x=\sqrt{2}\).
Sendo a abcissa positiva, o ponto de tangência tem abcissa \(\sqrt{2}\).
Exercício 5
★★★Exame nacionalExame Nacional 2022, época especial — itens 12.1, 12.2
Na Figura 3, estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico de uma função, \(h\), e uma reta, \(s\).
Sabe-se que:
a função \(h\), de domínio \(R\), é definida por \(h\left( x \right)={x}^{2}\);
a reta \(s\) tem declive positivo, \(m\), e intersecta o gráfico da função \(h\) nos pontos \(A\) e \(B\);
o ponto \(A\) tem coordenadas \(\left( -1,1 \right)\).
a) [★★] Qual das expressões seguintes representa a ordenada na origem da reta \(s\)?
(A) \(m+1\)
(B) \(m+2\)
(C) \({\left( m+1 \right)}^{2}\)
(D) \({\left( m+2 \right)}^{2}\)
b) [★★★] Sabe-se que as coordenadas do ponto \(B\) são da forma \(\left( m+1,{\left( m+1 \right)}^{2} \right)\).
Considere o ponto \(C\), projeção ortogonal do ponto \(B\) sobre o eixo \(Oy\).
Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de \(m\) para o qual a área do triângulo \(\left[ ABC \right]\) é igual a \(4\), sabendo-se que existe e é único.
Apresente o valor de \(m\) arredondado às centésimas. Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta: - apresente uma equação que lhe permita obter o valor de \(m\); - reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às milésimas.
Ver resolução
a) ★★
Resposta: (A)
A reta \(s\), de declive \(m\), passa em \(A\left( -1,1 \right)\): \(y-1=m\left( x+1 \right)\Leftrightarrow y=mx+m+1\).
A ordenada na origem (valor de \(y\) para \(x=0\)) é \(m+1\).
b) ★★★
\(C\), projeção ortogonal de \(B\) sobre \(Oy\), tem coordenadas \(\left( 0,{\left( m+1 \right)}^{2} \right)\); \(B\) e \(C\) têm a mesma ordenada, pelo que \(\left[ BC \right]\) é horizontal, de comprimento \(\overline{BC}=\left| m+1 \right|=m+1\) (pois \(m>0\)).
A altura do triângulo \(\left[ ABC \right]\) relativa a essa base é a distância vertical de \(A\) à reta \(y={\left( m+1 \right)}^{2}\): \(\left| 1-{\left( m+1 \right)}^{2} \right|\).
Área \(=\frac{\left( m+1 \right)\times \left| 1-{\left( m+1 \right)}^{2} \right|}{2}\); pretende-se \(\frac{\left( m+1 \right)\left| 1-{\left( m+1 \right)}^{2} \right|}{2}=4\).
Na calculadora, representam-se graficamente \({y}_{1}=\frac{\left( x+1 \right)\left| 1-{\left( x+1 \right)}^{2} \right|}{2}\) e \({y}_{2}=4\), e determina-se a abcissa do ponto de interseção, para \(x>0\): \(x\approx 1,166\).
Logo \(m\approx 1,17\).
Exercício 6
★★★Exame nacionalExame Nacional 2020, 2.ª fase — itens 9.1, 9.2
Os satélites artificiais são utilizados para diversos fins e a altitude a que são colocados depende do fim a que se destinam.
Admita que a Terra é uma esfera.
Na Figura 2, apresenta-se um esquema em que se pode observar a superfície terrestre coberta por um satélite, quando este se encontra numa certa posição.
Nesta figura:
\(R\) é o raio, em quilómetros, da Terra;
\(h\) é a altitude, em quilómetros, do satélite (\(h>0\));
\(r\) é o raio, em quilómetros, da base da calote esférica cuja superfície é coberta pelo satélite (\(0<r<R\));
as grandezas \(h\) e \(r\) podem relacionar-se por meio da igualdade \(r=\frac{R}{h+R}\sqrt{{h}^{2}+2hR}\).
Sabe-se que, para cada posição do satélite, a percentagem da área da superfície terrestre coberta pelo satélite é dada por
\[50\left( 1-\sqrt{1-{\left( \frac{r}{R} \right)}^{2}} \right)\]
a) [★★] Qual é a percentagem da área da superfície terrestre coberta por um satélite se o raio da base da calote esférica for igual a \(\frac{3}{5}\) do raio da Terra?
(A) \(20\%\)
(B) \(15\%\)
(C) \(10\%\)
(D) \(5\%\)
b) [★★★] Considere que o raio da Terra é \(6400\) km.
Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a percentagem da área da superfície terrestre coberta por um satélite se a altitude deste for igual ao raio da base da respetiva calote esférica.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas;
apresente o valor pedido arredondado às unidades.
Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
Ver resolução
a) ★★
\(\frac{r}{R}=\frac{3}{5}\), pelo que \({\left( \frac{r}{R} \right)}^{2}=\frac{9}{25}\).
\(1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\), e \(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\).
\(50\left( 1-\frac{4}{5} \right)=50\times \frac{1}{5}=10\).
A percentagem é \(10\%\). Resposta: (C)
b) ★★★
Pretende-se \(h\) tal que \(r\left( h \right)=h\), ou seja, a solução da equação \(\frac{6400}{x+6400}\sqrt{{x}^{2}+2\times 6400x}=x\).
Na calculadora, representam-se graficamente \({y}_{1}=\frac{6400}{x+6400}\sqrt{{x}^{2}+12800x}\) e \({y}_{2}=x\), e determina-se a abcissa do ponto de interseção (com \(x>0\)): \(\left( 5371,44, 5371,44 \right)\).
Assim, \(h=r\approx 5371,44\) km.
A percentagem de área coberta é \(50\left( 1-\sqrt{1-{\left( \frac{5371,44}{6400} \right)}^{2}} \right)\approx 22,82\%\approx 23\%\).
Exercício 7
★★★Exame nacionalExame Nacional 2020, época especial — itens 8.1, 8.2
Um município construiu, num dos seus parques, uma rampa de skate entre duas paredes verticais distanciadas \(21\) metros uma da outra.
Na Figura 4, estão representados um corte longitudinal da rampa e dois jovens, cada um no seu skate.
Nesta figura, o arco \(BD\) representa a rampa, os segmentos de reta \(\left[ AB \right]\) e \(\left[ CD \right]\) representam as paredes e o segmento de reta \(\left[ AC \right]\) representa o solo. Os pontos \(P\) e \(Q\) representam as posições dos dois jovens na rampa.
Admita que a distância ao solo, em metros, de um ponto da rampa situado \(x\) metros à direita da parede representada na figura por \(\left[ AB \right]\) é dada por
\[f\left( x \right)=0,0001{x}^{4}-0,005{x}^{3}+0,11{x}^{2}-x+3,4, 0\le x\le 21\]
a) [★★] Qual é, em metros, com arredondamento às décimas, o valor absoluto da diferença entre as alturas das duas paredes da rampa de skate?
(A) \(0,8\)
(B) \(0,7\)
(C) \(0,5\)
(D) \(0,4\)
b) [★★★] Num certo instante, os dois jovens estão à mesma distância do solo, um mais próximo da parede representada por \(\left[ AB \right]\) e o outro mais próximo da parede representada por \(\left[ CD \right]\). O jovem que se encontra mais próximo da parede representada por \(\left[ AB \right]\) está a um metro desta parede.
Seja \(d\) a distância a que se encontra da parede representada por \(\left[ CD \right]\) o jovem que dela está mais próximo.
Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de \(d\), sabendo-se que esse valor existe e é único.
Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas;
apresente o valor de \(d\) em metros, arredondado às décimas.
Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
Ver resolução
a) ★★
As alturas das paredes são \(f\left( 0 \right)\) e \(f\left( 21 \right)\).
\(f\left( 0 \right)=3,4\).
\(f\left( 21 \right)=0,0001\times {21}^{4}-0,005\times {21}^{3}+0,11\times {21}^{2}-21+3,4=19,4481-46,305+48,51-21+3,4=4,0531\).
\(\left| f\left( 21 \right)-f\left( 0 \right) \right|=\left| 4,0531-3,4 \right|=0,6531\approx 0,7\).
Resposta: (B)
b) ★★★
O jovem \(P\) está a \(1\) m de \(\left[ AB \right]\), logo \({x}_{P}=1\); o jovem \(Q\) está a \(d\) metros de \(\left[ CD \right]\), logo \({x}_{Q}=21-d\). Pretende-se \(f\left( {x}_{Q} \right)=f\left( {x}_{P} \right)\), ou seja, a equação \(f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\) (com \(x\ne 1\)).
Na calculadora, representam-se graficamente \({y}_{1}=f\left( x \right)\) e \({y}_{2}=f\left( 1 \right)=2,51\), e determina-se a abcissa do ponto de interseção com \(x>10\): \(\left( 18,29, 2,51 \right)\).
Logo \({x}_{Q}\approx 18,29\), pelo que \(d=21-{x}_{Q}\approx 21-18,29=2,71\approx 2,7\) m.
Exercício 8
★★★Exercício de editoraTeste N.º 5, Domínio 10 (Porto Editora, 2025/2026) — item 1
Na figura encontram-se representadas, num referencial o.n. \(Oxy\), uma função afim \(f\) e uma função quadrática \(g\).
Sabe-se que:
a função \(f\) é definida por \(f\left( x \right)=x+6\);
a função \(g\) tem máximo absoluto em \(x=1\);
o contradomínio da função \(g\) é o intervalo \(\,]-\infty ,9]\);
o gráfico da função \(g\) interseta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada \(8\);
\(A\) e \(B\) são os pontos de interseção dos gráficos das funções \(f\) e \(g\);
a abcissa do ponto \(A\) é menor do que a abcissa do ponto \(B\).
Determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\).
Ver resolução
Como \(g\) tem máximo absoluto \(9\) em \(x=1\), pode escrever-se na forma de vértice \(g\left( x \right)=a{\left( x-1 \right)}^{2}+9\), com \(a<0\).
Como o gráfico interseta \(Oy\) em \(8\): \(g\left( 0 \right)=a{\left( 0-1 \right)}^{2}+9=a+9=8\Leftrightarrow a=-1\).
Logo, \(g\left( x \right)=-{\left( x-1 \right)}^{2}+9=-{x}^{2}+2x+8\).
As abcissas de \(A\) e \(B\) são as soluções de \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\): \(x+6=-{x}^{2}+2x+8\Leftrightarrow {x}^{2}-x-2=0\).
\(x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}\), ou seja, \(x=2\) ou \(x=-1\).
Como a abcissa de \(A\) é menor do que a de \(B\): a abcissa de \(A\) é \(-1\) e a abcissa de \(B\) é \(2\).
Exercício 9
★★★Exercício de editoraTeste N.º 5, Domínio 10 (Porto Editora, 2025/2026) — item 3
Considere as funções \(f\) e \(g\), ambas de domínio \(R\), definidas por:
\[f\left( x \right)={x}^{2}-5x+1 e g\left( x \right)=ax-15, \text{com}a\in R\]
Quais são os valores de \(a\) para os quais os gráficos das funções \(f\) e \(g\) se intersetam num único ponto?
(A) \(-13\) e \(3\)
(B) \(13\) e \(-3\)
(C) \(-13\) e \(-3\)
(D) \(13\) e \(3\)
Ver resolução
Os gráficos intersetam-se nos pontos em que \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\): \({x}^{2}-5x+1=ax-15\Leftrightarrow {x}^{2}-\left( 5+a \right)x+16=0\).
Para que haja um único ponto de interseção, esta equação (de incógnita \(x\)) deve ter uma única solução, ou seja, o seu discriminante deve ser nulo:
\[{\left( 5+a \right)}^{2}-4\times 1\times 16=0\Leftrightarrow {\left( 5+a \right)}^{2}=64\Leftrightarrow 5+a=8\lor 5+a=-8\]
Assim, \(a=3\) ou \(a=-13\).
Resposta: (A)
Exercício 10
★★★Exercício de editoraTeste N.º 3, Domínio 10 (Porto Editora, 2025/2026) — itens 8.1, 8.2, 8.3
Sejam \(f\) e \(g\) duas funções reais de variável real, ambas de domínio \(R\). Sabe-se que:
\(f\) é uma função quadrática definida por \(f\left( x \right)=-{x}^{2}+10x-16\);
\(g\) é uma função afim definida por \(g\left( x \right)=-3x+20\).
Resolva as seguintes alíneas, recorrendo a processos exclusivamente analíticos.
a) [★★] Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa graficamente a função \(f\).
b) [★★] Determine os zeros da função \(f\).
c) [★★★] Resolva a inequação \(f\left( x \right)<g\left( x \right)\). Apresente o conjunto-solução sob a forma de intervalo ou união de intervalos de números reais.
Ver resolução
a) ★★
A abcissa do vértice é \({x}_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2\times \left( -1 \right)}=5\).
\(f\left( 5 \right)=-25+50-16=9\).
O vértice da parábola é o ponto \(\left( 5,9 \right)\).
b) ★★
\(-{x}^{2}+10x-16=0\Leftrightarrow {x}^{2}-10x+16=0\).
\(x=\frac{10\pm \sqrt{100-64}}{2}=\frac{10\pm 6}{2}\), ou seja, \(x=8\) ou \(x=2\).
Os zeros de \(f\) são \(2\) e \(8\).
c) ★★★
\(f\left( x \right)<g\left( x \right)\Leftrightarrow -{x}^{2}+10x-16<-3x+20\Leftrightarrow -{x}^{2}+13x-36<0\).
Multiplicando ambos os membros por \(-1\) (invertendo o sentido da desigualdade): \({x}^{2}-13x+36>0\).
Os zeros de \({x}^{2}-13x+36\) são \(x=\frac{13\pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13\pm 5}{2}\), ou seja, \(x=9\) ou \(x=4\).
Como o coeficiente de \({x}^{2}\) é positivo, \({x}^{2}-13x+36>0\) fora do intervalo dos zeros.
O conjunto-solução é \(\,]-\infty ,4\left[ \,\cup \, \right]9,+\infty [\).